גופים במרחב – מנסרה ופירמידהוקטורים 472 · שיעור 2
וקטורים · שאלון 472
שיעור 2: גופים במרחב – מנסרה ופירמידה
פרק 1 – מושגי יסוד וגופים במרחב
1נוסח השאלה
2סעיף א – וקטורים שווים במנסרה
3סעיף ב – וקטורים נגדיים והגובה
4סעיף ג – אורך הגובה
5סעיף ד – נפח הפירמידה
📄 נוסח השאלה
בסרטוט הראשון מנסרה משולשת ABCA′B′C′: הבסיסים ABC ו־A′B′C′ הם משולשים חופפים במישורים מקבילים, והמקצועות הצדדיים AA′ , BB′ , CC′ מקבילים ושווים זה לזה.
א. רשמו שני וקטורים השווים לווקטור AA′, ווקטור השווה לווקטור BC.
בסרטוט השני פירמידה ישרה SABCD שבסיסה הריבוע ABCD. הנקודה O היא מפגש האלכסונים של הבסיס.
📄 נוסח השאלה · המשך
ב. (1) רשמו את הווקטור הנגדי ל־OA ואת הווקטור הנגדי ל־OB, שמתחילים בנקודה O. (2) איזה קטע הוא הגובה של הפירמידה? נמקו.
נתון: אורך צלע הבסיס הוא AB = 6, ואורך המקצוע הצדדי הוא SA = 9.
ג. חשבו את אורך הגובה SO.
ד. חשבו את נפח הפירמידה.
סעיף א – וקטורים שווים במנסרה
במנסרה המקצועות הצדדיים מקבילים ושווים, וכולם "עולים" מהבסיס התחתון לעליון – אותו כיוון ואותו אורך:
📐 וקטורים שווים
AA′ = BB′ = CC′
הבסיסים חופפים ומקבילים, ולכן כל צלע בבסיס העליון מקבילה ושווה לצלע המתאימה בבסיס התחתון: B′C′ מקבילה ושווה ל־BC, ובאותו כיוון:
BC = B′C′
✅ פתרון סופי: BB′ , CC′ ; B′C′
📐 וקטורים שווים
אותו כיוון ואותו אורך
סעיף ב – וקטורים נגדיים והגובה
(1) האלכסונים של ריבוע חוצים זה את זה, ולכן OA = OC ו־OB = OD. OC באורך של OA ובכיוון ההפוך:
📐 וקטור נגדי
OC = −OA
OD = −OB
(2) בפירמידה ישרה הגובה יורד מהקודקוד אל מרכז הבסיס. מרכז הריבוע הוא מפגש האלכסונים O.
📐 פירמידה ישרה
לכן SO מאונך למישור הבסיס, והוא הגובה של הפירמידה.
✅ פתרון סופי: (1) OC , OD ; (2) הגובה הוא SO
📐 וקטור נגדי
YX = −XY
📐 פירמידה ישרה
הגובה יורד ממרכז הבסיס
(בריבוע: מפגש האלכסונים)
(בריבוע: מפגש האלכסונים)
סעיף ג – אורך הגובה
קודם האלכסון AC. המשולש ABC ישר־זווית ב־B (זווית של ריבוע):
AC2 = AB2 + BC2
📐 משפט פיתגורס (c – היתר)
נציב AB = BC = 6:
AC2 = 62 + 62 = 72
AC = √72 = 6√2
O אמצע האלכסון, ולכן AO = AC2 = 6√22 = 3√2 .
📐 משפט פיתגורס (c – היתר)
c2 = a2 + b2
סעיף ג – אורך הגובה · המשך
O אמצע האלכסון, ולכן AO = AC2 = 6√22 = 3√2 .
SO מאונך לבסיס, ולכן הוא מאונך ל־AO. המשולש SOA ישר־זווית ב־O, והיתר הוא SA = 9:
SA2 = SO2 + AO2
📐 משפט פיתגורס (c – היתר)
נציב SA = 9 , AO = 3√2:
92 = SO2 + (3√2)2
81 = SO2 + 18
📐 משפט פיתגורס (c – היתר)
c2 = a2 + b2
סעיף ג – אורך הגובה · המשך
81 = SO2 + 18
SO2 = 63
SO = √63 = 3√7 ≈ 7.94
✅ פתרון סופי: SO = 3√7 ≈ 7.94
סעיף ד – נפח הפירמידה
שטח הבסיס (ריבוע שצלעו 6): Sבסיס = 6 · 6 = 36
V = Sבסיס · h3
📐 נפח פירמידה
נציב Sבסיס = 36 , h = SO = 3√7:
V = 36 · 3√73 = 36√7 ≈ 95.25
✅ פתרון סופי: V = 36√7 ≈ 95.25 יחידות נפח
📐 נפח פירמידה
V = Sבסיס · h3
📌 סיכום התשובות
סעיף א
BB′ , CC′ ; B′C′
סעיף ב
(1) OC , OD (2) SO
סעיף ג
3√7 ≈ 7.94
סעיף ד
36√7 ≈ 95.25
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא